Co to znaczy, inaczej?
Kiedyś dawno temu, gdy rozpoczynałem dopiero karierę w zawodzie nauczycielskim, wpadł mi w ręce pewien artykuł napisany przez Andrieja Kołmogorowa, rosyjskiego matematyka o wielkim światowym autorytecie. Zasłynął z tego, że jako pierwszy na świecie stworzył aksjomatyczne podstawy rachunku prawdopodobieństwa (w 1933 r.). Andriej Kołmogorow interesował się także nauczaniem matematyki w szkole, był twórcą szkoły matematycznej w Moskwie, pisał podręczniki dla uczniów tej szkoły. Kołmogorow był inicjatorem założenia i redaktorem czasopisma „Kwant” dla młodzieży interesującej się matematyką i fizyką.
W artykule tym Kołmogorow twierdził, że da się elementarnymi metodami (tzn. bez środków analizy matematycznej) rozwiązywać równania różniczkowe (oczywiście proste równania). Wtedy nie wiedziałem, jak on to robił. Nie udało mi się ponownie dotrzeć do właściwych materiałów, ale idea wciąż mnie nurtowała, motywowała do poszukiwań. Teraz przekonałem się, że posługując się przybliżeniami, można dużo osiągnąć.
Dziwnym kaprysem inercji nawyków i przyzwyczajeń tradycyjnego nauczania matematyki programy szkolne pomijają takie zagadnienia jak logarytm naturalny czy naturalna funkcja wykładnicza. Dzieje się to z dużą szkodą dla ogólnego wykształcenia społeczeństwa. Zagadnienia te są bardzo ważne i w matematyce, i w zastosowaniach. Bez tych funkcji nie byłoby dzisiejszej techniki. Jestem przekonany, że wiele młodych ludzi zechce uzupełnić i rozszerzyć wiadomości szkolne. Do nich adresuję to opracowanie.
Zawiera ono dużo nowatorskich pomysłów. Przewodnią metodą są przybliżenia. Pozwala to na proste wprowadzenie naturalnej funkcji wykładniczej (exp) i logarytmu naturalnego oraz na poglądowo-intuicyjne określenie pochodnej, którą z kolei wykorzystuje się do rozwinięcia funkcji trygonometrycznych i wykładniczej w szereg bez twierdzenia Taylora. Za pomocą pochodnych funkcji trygonometrycznych rozwiązuje się równanie różniczkowe określające ruch harmoniczny.
***
Książka zawiera wiele ciekawych i oryginalnych rozwiązań, przede wszystkim oryginalne ujęcie funkcji wykładniczych, logarytmicznych i elementarne opracowanie funkcji hiperbolicznych. Ciekawe jest także określenie potęg – jedna definicja obejmująca wszystkie rodzaje wykładników, dowody własności potęg są pełne, bardzo proste.
Książka zawiera wiele ciekawych przykładów na zastosowanie omawianych funkcji, na przykład, jak oszacować wiek ziemi, jak opada spadochroniarz, jak przewidywać liczbę mieszkańców Wrocławia, dlaczego mały chłopiec nie mógł przerzucić kamieniem nad dachem domu.
