O pochodnej – pewna propozycja dydaktyczna

Ferie pewnej zimy spędziłem na wsi, u bliskich krewnych.

Były to niezwykłe ferie, zaproszono mnie, aby zainteresować się edukacją matematyczną familijnej młodzieży – gimnazjum, I i III klasa liceum (renomowane szkoły Krakowa). Najpierw odbywaliśmy rozmowy indywidualnie, ale że młodzież była zdolna i ambitna, ktoś zaproponował wspólne spotkania, dołączyła do nas miejscowa nauczycielka matematyki. W ten sposób powstało coś w rodzaju familijnego seminarium, posiedzenia odbywały się codziennie, czas był nieograniczony (dzięki biegłemu posługiwaniu się komputerem, szeroki ekran telewizora służył nam za tablicę). Pod koniec mojego pobytu, trzecioklasista poprosił, aby opowiedzieć coś o pochodnej.

Oto przebieg rozmowy na ten temat.

ĆWICZENIE WSTĘPNE – ZABAWA

Zaczęliśmy od analizy wykresu funkcji

$$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-x^{2.}$$

Jedna osoba pokazywała palcem na osi X argumenty zmieniając je płynne i jednostajnie, druga zaś osoba wskazywała na osi Y wartości funkcji odpowiadające argumentom pokazywanym na pierwszej osi, pozostali uczestnicy zabawy mieli obserwować jak się zmieniają wartości funkcji i opowiedzieć, co zauważyli (polecenie było celowo ogólne). Oczywiście, natychmiast zauważono, kiedy wartości funkcji rosną a kiedy maleją. A czy zauważyliście jeszcze coś – pytam. Po kilku powtórzeniach ćwiczenia zorientowano się o co mi chodzi – że na niektórych odcinkach dziedziny wartości zmieniają się powoli, na innych szybciej, a jeszcze n a innych – gwałtownie.

KOMENTARZ

Bardziej sobie cenię palce ucznia jako pomoce naukowe od specjalnych, choćby jak zmyślnych, chociaż kiedyś specjalnie nabyłem komputer, aby ułatwić uczniom odczytywanie wykresów (było to sympatyczne SPECTRUM, kto dzisiaj słyszał o takim cudo?)

PODSUMOWANIE ĆWICZENIA

Poinformowałem zebranych, że w zastosowaniach funkcji do opisu i badania różnych sytuacji, zjawisk, procesów... ważne jest w jakim tempie (z jaką prędkością) zmieniają się wartości funkcji, przytoczyłem kilka przykładów z mojego artykułu w MATEMATYCE o ilorazie różnicowym.

Jako ciekawy przykład zaproponowałem też analizę funkcji, której wartości oblicza się według następującego wzoru

$$v\left(t\right)=50\left(1-\frac{2}{1+\exp \left(0,4t\right)}\right)$$

Funkcja ta opisuje prędkość opadania spadochroniarza z zamkniętym spadochronem. Poinformowałem o monotoniczności funkcji exp i ze wzoru odczytaliśmy jak się zmienia prędkość opadania, stwierdziliśmy, że najpierw rośnie w dużym tempie, potem tempo to maleje praktycznie do zera i wtedy prędkość zatrzymuje się na wartościach nieprzekraczających 50 m/s, a więc dalej spadochroniarz opada ruchem jednostajnym. Było to dużym zaskoczeniem, bo sobie błędnie wyobrażano, że ta prędkość rośnie nieograniczanie, ale zaraz się wyjaśniło, że tak jest tylko w próżni, a w atmosferze ziemskiej działa opór powietrza, zilustrowaliśmy to wykresem.

ILORAZ RÓŻNICOWY

Rzadko spotykamy się z funkcjami, których monotoniczność można odczytać ze wzoru określającego tę funkcję. Jak sobie wtedy poradzić?

Zaczęliśmy od funkcji, których wartości argumentów pochodzą z pomiaru, są więc obarczone pewnym błędem, wtedy otrzymuje się też przybliżone wartości funkcji i trzeba ocenić błąd, bo może się okazać, że jest on tak wielki że czyni wyniki obliczeń bez sensu (przykład takiej sytuacji jest we wspomnianym artykule).

Rozważmy więc dowolną funkcję f i przybliżenie x jej argumentu, błąd tego przybliżenia oznaczmy przez $\mathrm{\Delta }x,$ błąd to różnica między dokładną wartością a jej przybliżeniem, wobec tego dokładna wartość argumentu to $x+\mathrm{\Delta }x$, dokładna wartość funkcji to $f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)$ a przybliżenie wartości funkcji to $f\left(x\right)$, błąd tego przybliżenia nazwijmy

błędem rachunkowym i oznaczmy $\mathrm{\Delta }y:$ $\mathrm{\Delta }y=f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right).$Bardzo ważny jest stosunek tych błędów: $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x},$ nazywa się on ilorazem różnicowym.

1) Jeżeli iloraz różnicowy dla danej funkcji w pewnym punkcie jest zbyt duży, to nie należy obliczać przybliżonej wartości funkcji w tym punkcie, bo może się okazać, że błąd rachunkowy czyni obliczenia bez sensu.

2) Iloraz różnicowy można wykorzystać do badania monotoniczności funkcji. Wtedy $\mathrm{\Delta }x$ nazywamy przyrostem argumentu, niezależnie od tego, czy jest to liczba dodatnia, czy ujemna. Podobnie $\mathrm{\Delta }y$ nazywamy przyrostem wartości funkcji.

ILORAZ RÓŻNICOWY I MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI

Z równości

$$f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \mathrm{\Delta }x$$

bardzo łatwo wysnuliśmy następujący wniosek

Jeśli dla każdych $x,x+\mathrm{\Delta }x$ z pewnego przedziału jest

a) $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}>0,$ to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca,

b) $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}<0,$ to funkcja f jest w tym przedziale malejąca.

UWAGA:

Znak przyrostu argumentu ($\mathrm{\Delta }x$) nie ma tu znaczenia.

PRZYKŁAD

Zbadajmy monotoniczność funkcji określonej wzorem

a) $f\left(x\right)=x^2-4x+3,$

b) $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-x^{2.}$

Ad a)

Odczytujemy wzór:

f to chwilowa nazwa rozpatrywanej funkcji, na czas zajmowania się nią, x to argument, f(x) to wartość funkcji f dla tego argumentu.

Wartość tej funkcji obliczamy w sposób następujący:

dany argument podnosimy do kwadratu, i od tego odejmujemy cztery razy ten argument, i jeszcze dodajemy 3.

KOMENTARZ

1. Chodzi o to, aby uczeń nie uważał, że wzór to funkcja, ale że wzór podaje tylko sposób obliczania wartości funkcji.

2. Chodzi o to także, by uczniowie nie posługiwali się mechanicznym „podstawianiem”, bo to często prowadzi do różnych patologii. Zdarza się na przykład, że uczeń funkcję kojarzy z podstawianiem i gdy ma funkcję, która nie jest określona wzorem, gubi się – „co tu i gdzie podstawić?” – i tym podobne kłopoty. Któż z nas nie spotkał się z tym, że uczeń ma trudności właśnie z obliczaniem ilorazu różnicowego?

*

Teraz obliczamy iloraz różnicowy:

(1) $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=...=$ $\left(2x-4\right)+\mathrm{\Delta }x=2\left(x-2\right)+\mathrm{\Delta }x.$

1) gdy $x<2$ i $\mathrm{\Delta }x<0,$ wtedy $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}<0,$

więc nasza funkcja w przedziale $\left(-\infty ,2\right)$ jest malejąca.

Dla lepszego zrozumienia powtórzmy wcześniejsze rozumowanie ogólne.

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=2\left(x-2\right)+\mathrm{\Delta }x,$ więc

$$\mathrm{\Delta }y=f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)=\left(2\left(x-2\right)+\mathrm{\Delta }x\right)\mathrm{\Delta }x>0,$$

w takim razie

$f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)>f\left(x\right),$ ale $x+\mathrm{\Delta }x<x,$

wobec tego, dla mniejszego argumentu wartość funkcji jest większa. Rozumowanie to jest prawdziwe dla każdych $x,x+\mathrm{\Delta }x<2,$ a to oznacza, że funkcja w przedziale $\left(-\infty ,2\right)$ jest malejąca.

2) gdy $x>2$ i $\mathrm{\Delta }x>0$, to $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}>0,$ więc nasza funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(2,+\infty \right).$

3) Ponieważ funkcja f w przedziale $\left(-\infty ,2\right)$ jest malejąca a w przedziale $\left(2,+\infty \right)$ jest rosnąca, więc f(2) jest najmniejszą wartością tej funkcji.

*

Po wykonaniu jakiejś pracy, dobrze jest zatrzymać się na chwilę, aby spokojnie przyjrzeć się jeszcze raz swemu dziełu, i się nad tym zadumać. Tak też zrobiliśmy, i co zauważyliśmy?

1) Znak ilorazu (1) zależy, w istocie, tylko od głównego członu: 2(x−2), nie zależy od przyrostu argumentu $\mathrm{\Delta }x,$

2) Iloraz (1) różni się od tego członu o $\mathrm{\Delta }x$, ta różnica może być tak mała jak tylko chcemy, bo $\mathrm{\Delta }x$ możemy brać dowolnie małe.

3)
– dla argumentów bliskich liczbie 2, iloraz (1) jest bardzo mały, więc wartości funkcji bardzo mało różnią się od wartości f(2)=–1.

– dla argumentów dużych co do bezwzględnej wartości – bezwzględna wartość ilorazu jest bardzo duża, a to oznacza, że wartości funkcji zmieniają się gwałtownie, wobec czego funkcja nie nadaje się do opisu sytuacji, w których wartości zmiennej niezależnej są obarczone pewnym błędem, bo wtedy błąd rachunkowy jest bardzo duży i powoduje nieprzydatność takiej funkcji.

Ad b)

Po odczytaniu wzoru obliczyliśmy iloraz różnicowy:

$$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=...=\left(x^2-2x\right)+x\mathrm{\Delta }x-\mathrm{\Delta }x+\frac{1}{3}\mathrm{\Delta }{x}^2.$$

Próbowaliśmy, oczywiście, podobnie jak w a), ustalić znak tego ilorazu, i tu natrafiliśmy na trudność, przeszkodą okazał się składnik $x\mathrm{\Delta }x.$ Jak sobie z tym poradzić? A może, tak jak w a) znak ilorazu nie zależy od składników zawierających przyrost argumentu? Przecież ten przyrost może być dowolnie mały! Rzeczywiście, przy odpowiednim doborze $\mathrm{\Delta }x$, na pewno spełniony jest warunek

$$\left|x^2-2x\right|>\left|x\mathrm{\Delta }x-\mathrm{\Delta }x+\frac{1}{3}\mathrm{\Delta }{x}^2\right|,$$

a wtedy znak ilorazu zależy tylko od $x^2-2x.$

Możemy teraz już zbadać monotoniczność naszej funkcji.

1) gdy x<0, to wtedy $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ >0, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,0\right),$

2) gdy 0<x<2, to wtedy $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$<0, więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0, 2),

3) gdy x>2, to wtedy $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$>0 i funkcja f jest rosnąca w przedziale $\left(2,+\infty \right).$

*

I znów chwila zadumy nad tym co zrobiliśmy. Wiedząc jak ważne w zastosowaniach jest

tempo (prędkość) zmiany wartości funkcji, postanowiliśmy zbadać pod tym kątem rozpatrywaną funkcję.

O tym informuje nas iloraz różnicowy, który zastępujemy jego doskonałym przybliżeniem:

x(x−2), oznaczmy je przez f’(x), a więc f’(x)=x(x−2).

Zauważyliśmy, że

– dla argumentów x bliskich liczbie 2, f’(x) niewiele różni się od 0, więc przyrost wartości funkcji jest nieznaczny, co oznacza, że wartości f(x) niewiele różnią się od $f\left(2\right)=-\frac{4}{3},$

– w pobliżu argumentu x=3, przyrost wartości funkcji jest mniej więcej 3 razy większy od przyrostu argumentu, bo f’(3)=3,

– ale już w pobliżu x=5, przyrost wartości funkcji jest około 6 razy większy od przyrostu argumentu,

– i już zorientowaliśmy się, że f’(x) informuje nas, że funkcja coraz szybciej rośnie, a nawet rośnie gwałtownie.

POCHODNA

W ostatnich przykładach, do analizy funkcji tworzyliśmy specjalne narzędzie, mianowicie, najpierw budowaliśmy iloraz różnicowy funkcji a następnie szukaliśmy bardzo dobrego przybliżenia tego ilorazu, bardzo dobre przybliżenie to znaczy takie, które różni się od ilorazu tak mało, jak tylko chcemy, wystarczy tylko dobrać wystarczająco mały przyrost argumentu. To przybliżenie nazywa się pochodną funkcji i oznaczamy ją $f\prime \left(x\right)$.Tak więc,

– w przykładzie a)

f′(x)=2x−4,

– w przykładzie b)

f’(x)=x(x−2).

DALSZE PRZYKŁADY

Wyznaczyć pochodne funkcji f, g, h określonych odpowiednio wzorami:

$f\left(x\right)=x^3$, $g\left(x\right)=\sqrt{x}$ , $h\left(x\right)=\frac{1}{x}.$

a) Wyznaczamy iloraz różnicowy dla funkcji f:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{{\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)}^3-x^3}{\mathrm{\Delta }x}=...=$ $3x^2+3x\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2.$

Od razu widać, że

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\cong 3x_{\mathit{2}}^{}$, czyli $f\prime \left(x\right)=3x^2$.

znak $\cong$ oznacza tu, i będzie oznaczać dalej aż do odwołania, dobre przybliżenie, czyli przybliżenie z dowolną dokładnością, co trzeba rozumieć następująco:

bezwzględna wartość różnicy

$\left|\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}-f’\left(x\right)\right|$ jest mniejsza od każdej dowolnie pomyślanej małej liczby dodatniej, wystarczy tylko dobrać dostatecznie małe $\mathrm{\Delta }x.$

b) $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{g\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-g\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\sqrt{x+\mathrm{\Delta }x}-\sqrt{x}}{\mathrm{\Delta }x}=$

$$=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x\left(\sqrt{x+\mathrm{\Delta }x}+\sqrt{x}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+\mathrm{\Delta }x}+\sqrt{x}}\cong \frac{1}{2\sqrt{x}},$$

$g\prime \left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ dla $x>0.$

c) $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{h\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-h\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}=$$\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\left(\frac{1}{x+\mathrm{\Delta }x}-\frac{1}{x}\right)=\frac{-1}{\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)x}\cong -\frac{1}{x^2},$

$$h\prime \left(x\right)=-\frac{1}{x^2}dlax\ne 0.$$

SPOSTRZEŻENIE

Bezpośrednio z określenia

$$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\cong f’\left(x\right)$$

wynika następujący wniosek

(*) $f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)\cong f\left(x\right)+f’\left(x\right)\mathrm{\Delta }x.$

Jest to ważny wniosek.

• Stąd wynika natychmiast, że

a) jeśli $f\prime \left(x\right)>0$ w jakimś przedziale, to w tym przedziale funkcja f jest rosnąca,

b) jeśli $f\prime \left(x\right)<0$ w jakimś przedziale, to funkcja f jest w tym przedziale malejąca.

• Za pomocą wzoru (*) można obliczać przybliżone wartości funkcji.

Przykład

obliczyć w przybliżeniu $\sqrt{4,05,}$ bierzemy funkcję

$f\left(x\right)=\sqrt{x},$  $x=4,$ $\mathrm{\Delta }x=0,05,$ wiemy, że $f’\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}},$

więc $\sqrt{4,05}=f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)=\sqrt{4,05}\approx \sqrt{4}+\frac{0,05}{2\sqrt{4}}=2,0125.$

(wg kalkulatora 2,012461)

• Wzór (*) wykorzystamy do wyprowadzenia wzoru na pochodną iloczynu,

• Wzór (*) można wykorzystać jeszcze do wielu innych rzeczy, np. scałkowania funkcji...

POCHODNA ILOCZYNU DWÓCH FUNKCJI

Przypuśćmy, że znamy pochodne dwóch funkcji f i g.

Czy można za ich pomocą obliczyć pochodną iloczynu tych funkcji? Spróbujmy to zrobić, może nam się uda?

Na podstawie wzoru (*) mamy

$f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)\cong f\left(x\right)+f\prime \left(x\right)\mathrm{\Delta }x$, $g\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)\cong ~g\left(x\right)+g\prime \left(x\right)\mathrm{\Delta }x$.

Teraz wyznaczamy iloraz różnicowy iloczynu tych funkcji:

$$\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)g\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}=...=$$

$$=f\prime \left(x\right)g\left(x\right)+g\prime \left(x\right)f\left(x\right)+f\prime \left(x\right)g\prime \left(x\right)\mathrm{\Delta }x\cong$$

$$\cong f\prime \left(x\right)g\left(x\right)+g\prime \left(x\right)f\left(x\right)$$

A to znaczy, że

$$\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\prime =f\prime \left(x\right)g\left(x\right)+g\prime \left(x\right)f\left(x\right).$$

W podobny sposób można obliczyć pochodną sumy i ilorazu dwóch funkcji, których pochodne znamy.

POSTSCRIPTUM

$B=1+\mathrm{\Delta }x$ , $C=\ln \left(1+\mathrm{\Delta }x\right).$

Jak obliczyć pochodne funkcji ln i exp, określonych tradycyjnie?

Sposób I

Na podstawie interpretacji geometrycznej definicji całkowej logarytmu naturalnego stwierdzamy:

(1) $\ln \left(1+\mathrm{\Delta }x\right)\cong \mathrm{\Delta }x$ (patrz rys.).

Uwzględniając to otrzymujemy

$$\frac{\ln \left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-\ln \left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \ln \left(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}\right)\cong \frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \frac{\mathrm{\Delta }x}{x}=\frac{1}{x},$$

więc

$$ln\prime \left(x\right)=\frac{1}{x}.$$

pochodna funkcji wykładniczej:

a) Na obie strony (1) działamy funkcją exp, otrzymujemy

$$e^{\mathrm{\Delta }x}\cong 1+\mathrm{\Delta }x,$$

b) Wyznaczamy teraz iloraz różnicowy:

$$\frac{e^{x+\mathrm{\Delta }x}-e^x}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{e^x\left(e^{\mathrm{\Delta }x}-1\right)}{\mathrm{\Delta }x}\cong e^x,$$

a więc

$$\exp \prime \left(x\right)=e^x.$$

Sposób II

Korzystamy z tego, że prosta o równaniu y=1+x jest styczną do wykresu funkcji wykładniczej w punkcie (0,1) (patrz MATEMATYKA 1/1973, str. 44)

Istotą stycznej do wykresu jest to, że w pobliżu punktu styczności dobrze ona przybliża wykres funkcji, mamy zatem

$$e^{\mathrm{\Delta }x}\cong 1+\mathrm{\Delta }x.$$

Dalej postępujemy analogicznie do Sposobu I.

KOMENTARZ

Widzimy, że na niższym etapie edukacji można nie podawać formalnej definicji pochodnej, wystarczy intuicyjne ujęcie.